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4圆周运动学习目标1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动.2.掌握线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点.3.掌握角速度的定义式，知道周期、转速的概念.4.理解掌握公式vr和2n.一、线速度1.定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值，v.2.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢.3.方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直.4.匀速圆周运动(1)定义：沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动.(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动.二、角速度1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，.2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢.3.单位(1)角的单位：国际单位制中，弧长与半径的比值表示角的大小，即，其单位称为弧度，符号：rad.(2)角速度的单位：弧度每秒，符号是rad/s或rads1.三、周期和转速1.周期T：做匀速圆周运动的物体转过一周所用的时间，单位：秒(s).2.转速n：单位时间内转过的圈数，单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min).3.周期和转速的关系：T(n的单位为r/s时).四、线速度与角速度的关系1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积.2.公式：vr.1.判断下列说法的正误.(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同.()(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零.()(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变.()(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变.()(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小.()2.A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长之比sAsB23，转过的圆心角之比AB32，那么它们的线速度大小之比vAvB_，角速度大小之比AB_.答案2332解析由v知；由知.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】对线速度、角速度的理解及简单计算一、线速度和匀速圆周运动如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：图1(1)A、B两点的速度方向各沿什么方向？(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？(3)匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？(4)A、B两点哪个运动得快？答案(1)两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向.(2)B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动.(3)质点做匀速圆周运动时，线速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动只是速率不变，是变速曲线运动.而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变，二者并不相同.(4)B运动得快.1.对线速度的理解(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快.(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上.(3)线速度的大小：v，s代表在时间t内通过的弧长.2.对匀速圆周运动的理解(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化.(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变；转动快慢不变，即角速度大小不变.(3)运动性质：线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动.例1(多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A.因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动B.该质点速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动C.该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态D.该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合力不等于零答案BD【考点】对匀速圆周运动的理解【题点】对匀速圆周运动的理解二、角速度、周期和转速如图2所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动.图2(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？如何比较它们转动的快慢？(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？答案(1)不相同.根据角速度公式知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快.(2)秒针周期为60s，分针周期为60min，时针周期为12h.1.对角速度的理解(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快.(2)角速度的大小：，代表在时间t内物体与圆心的连线转过的角度.(3)在匀速圆周运动中，角速度大小不变.2.对周期和频率(转速)的理解(1)周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点时间周期性.其具体含义是：描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同，如线速度等.(2)当单位时间取1s时，fn.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同.3.周期、频率和转速间的关系：T.例2(多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是()A.秒针转动的周期最长B.时针转动的转速最小C.秒针转动的角速度最大D.秒针的角速度为rad/s答案BCD解析秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为rad/srad/s，D正确.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】对角速度、周期(和转速)的理解及简单计算三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系1.描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系(1)v2nr(2)2n(3)vr2.描述匀速圆周运动的各物理量之间关系的理解(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由2n知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了.(2)线速度与角速度之间关系的理解：由vr知，r一定时，v；v一定时，；一定时，vr.例3做匀速圆周运动的物体，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时：(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小.答案(1)10m/s(2)0.5 rad/s(3)4 s解析(1)依据线速度的定义式v可得vm/s10 m/s.(2)依据vr可得，rad/s0.5 rad/s.(3)Ts4s.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系针对训练1(多选)火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10s内匀速转过了约10.在此10s时间内，火车()A.运动路程为600mB.加速度为零C.角速度约为1rad/sD.转弯半径约为3.4km答案AD解析由svt知，s600m，A对.在弯道做圆周运动，火车加速度不为零，B错.由10s内转过10知，角速度rad/srad/s0.017 rad/s，C错.由vr知，rm3.4km，D对.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系四、同轴转动和皮带传动问题如图3为两种传动装置的模型图.图3(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系.(2)乙图为同轴转动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系.答案(1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又vr，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小.(2)同轴转动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为vr，当一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大.常见的传动装置及其特点同轴转动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度大小相等线速度大小相等规律线速度与半径成正比：角速度与半径成反比：.周期与半径成正比：角速度与半径成反比：.周期与半径成正比：例4(多选)如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rArC2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的()图4A.角速度之比为122B.角速度之比为112C.线速度大小之比为122D.线速度大小之比为112答案AD解析A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等.a、b比较：vavb由vr得：abrBrA12b、c比较：bc由vr得：vbvcrBrC12所以abc122vavbvc112故A、D正确.【考点】传动问题分析【题点】传动问题中各物理量的比值关系传动问题是圆周运动部分的一种常见题型，在分析此类问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：(1)绕同一轴转动的各点角速度、转速n和周期T相等，而各点的线速度vr与半径r成正比；(2)链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度与半径r成反比.针对训练2(多选)如图5所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为13，则在传动的过程中()图5A.甲、乙两轮的角速度之比为31B.甲、乙两轮的周期之比为31C.甲、乙两轮边缘处的线速度之比为31D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为11答案AD解析这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度相等，故C错误；根据线速度的定义v可知，弧长svt，故D正确；根据vr可知，又甲、乙两个轮子的半径之比r1r213，故甲、乙两轮的角速度之比12r2r131，故A正确；周期T，所以甲、乙两轮的周期之比T1T22113，故B错误.【考点】传动问题分析【题点】传动问题中各物理量的比值关系1.(对匀速圆周运动的认识)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是()A.相等的时间内通过的路程相等B.相等的时间内通过的弧长相等C.相等的时间内通过的位移相同D.在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等答案C解析匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D项正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C项错误.【考点】对匀速圆周运动的理解【题点】对匀速圆周运动的理解2.(描述圆周运动各物理量的关系)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4m/s，转动周期为2s，下列说法中不正确的是()A.角速度为0.5rad/sB.转速为0.5r/sC.运动轨迹的半径约为1.27mD.频率为0.5Hz答案A解析由题意知v4m/s，T2s，根据角速度与周期的关系可知rad/s3.14 rad/s.由线速度与角速度的关系vr得rm1.27m.由v2nr得转速nr/s0.5 r/s.又由频率与周期的关系得f0.5Hz.故A错误，符合题意.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系3.(传动问题)某新型自行车，采用如图6甲所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题.如图乙所示是圆锥齿轮90轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC(rArBrC).下列有关物理量大小关系正确的是()图6A.B点与C点的角速度：BCB.C点与A点的线速度：vCvAC.B点与A点的线速度：vBvAD.B点和C点的线速度：vBvC答案B解析B点与C点的线速度相等，由于rBrC，所以BC，故A、D错误；B点的角速度与A点的角速度相等，所以，即vBvA，故C错误.B点与C点的线速度相等，所以vCvA，故B正确.【考点】传动问题分析【题点】皮带(或齿轮)传动问题分析4.(圆周运动的周期性)如图7所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度的大小.图7答案R2n(n1,2,3)解析设球在空中运动时间为t，此圆盘转过角，则Rvt，hgt2故初速度vRn2(n1,2,3)又因为t则圆盘角速度2n(n1,2,3).【考点】圆周运动与其他运动结合的问题【题点】圆周运动与其他运动结合的多解问题一、选择题考点一描述圆周运动的物理量的关系及计算1.一质点做匀速圆周运动时，圆的半径为r，周期为4s，那么1s内质点的位移大小和路程分别是()A.r和B.和C.r和rD.r和答案D解析质点在1s内转过了圈，画出运动过程的示意图可求出这段时间内的位移大小为r，路程为，所以选项D正确.【考点】对匀速圆周运动的理解【题点】对匀速圆周运动的理解2.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是()A.线速度大的角速度一定大B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小答案D解析由vr可知，当r一定时，v与成正比；v一定时，与r成反比，故A、C均错误.由v可知，当r一定时，v越大，T越小，B错误.由可知，越大，T越小，故D正确.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系3.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是()A.因为vr，所以线速度v与轨道半径r成正比B.因为，所以角速度与轨道半径r成反比C.因为2n，所以角速度与转速n成正比D.因为，所以角速度与周期T成反比答案CD解析当一定时，线速度v才与轨道半径r成正比，所以A错误.当v一定时，角速度才与轨道半径r成反比，所以B错误.在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，故C、D正确.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系4.(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为31，线速度之比为23，那么下列说法中正确的是()A.它们的半径之比为29B.它们的半径之比为12C.它们的周期之比为23D.它们的周期之比为13答案AD解析由vr，得r，A对，B错；由T，得T甲T乙13，C错，D对.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】圆周运动各物理量间的比值关系考点二传动问题5.如图1所示是一个玩具陀螺.a、b和c是陀螺上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是()图1A.a、b和c三点的线速度大小相等B.a、b和c三点的角速度大小相等C.a、b的角速度比c的大D.c的线速度比a、b的大答案B解析同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，故选B.【考点】传动问题分析【题点】同轴传动问题分析6.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图2所示.当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则O点到小球2的距离是()图2A.B.C.D.答案B解析两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1r2L.又知v1r1，v2r2，联立得r2，B正确.【考点】传动问题分析【题点】同轴传动问题分析7.如图3所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z124，从动轮的齿数z28，当主动轮以角速度顺时针转动时，从动轮的运动情况是()图3A.顺时针转动，周期为B.逆时针转动，周期为C.顺时针转动，周期为D.逆时针转动，周期为答案B解析主动轮顺时针转动，则从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T从，B正确.【考点】传动问题分析【题点】皮带(或齿轮)传动问题分析8.如图4所示的装置中，已知大轮的半径是小轮半径的3倍，A点和B点分别在两轮边缘，C点到大轮轴的距离等于小轮半径.若不打滑，则它们的线速度之比vAvBvC为()图4A.133B.131C.331D.313答案C解析A、C两点转动的角速度相等，由vr可知，vAvC31；A、B两点的线速度大小相等，即vAvB11，则vAvBvC331.【考点】传动问题分析【题点】传动问题中各物理量的比值关系考点三圆周运动的周期性9.某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28cm.B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16cm.P、Q转动的线速度相同，都是4m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图5所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值应为()图5A.0.56sB.0.28sC.0.16sD.0.07s答案A解析根据公式T可求出，P、Q转动的周期分别为TP0.14s和TQ0.08s，根据题意，只有当P、Q同时转到题图所示位置时，Q才能接收到红外线信号，所以所求的最小时间应该是它们转动周期的最小公倍数，即0.56s，所以选项A正确.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】对周期和转速的理解及简单计算10.如图6所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出(不计空气阻力)，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为.若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是()图6A.dB.(n0,1,2,3)C.v0D.2(n0,1,2,3)答案B解析依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t(n0,1,2,3)，平抛的时间t，则有(n0,1,2,3，)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则dgt2，联立有d2g2(2n1)2(n0,1,2,3，)，A、D错误.【考点】圆周运动与其他运动结合的问题【题点】圆周运动与其他运动结合的多解问题二、非选择题11.(描述圆周运动的物理量)一汽车发动机的曲轴每分钟转2400周，求：(1)曲轴转动的周期与角速度的大小.(2)距转轴r0.2m的点的线速度的大小.答案(1)s80rad/s(2)16 m/s解析(1)由于曲轴每秒钟转40(周)，周期Ts；而每转一周为2rad，因此曲轴转动的角速度240rad/s80 rad/s.(2)已知r0.2m，因此这一点的线速度vr800.2m/s16 m/s.【考点】线速度、角速度、周期(和转速)【题点】线速度、角速度、周期(和转速)的关系12.(传动问题)如图7所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O，A、C为皮带轮边缘上的点，B为AO连线上的一点，RBRA，RCRA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度大小之比、线速度大小之比.图7答案223212解析由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此AB，又皮带不打滑，所以vAvC，故可得CA，所以ABCAAA223.又vBRBBRAA，所以vAvBvCvAvAvA212.【考点】传动问题分析【题点】综合传动问题13.(圆周运动与其他运动的结合)如图8所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，圆轮最低点距地面的高度为R，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上.(不计空气阻力，重力加速度为g)图8(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由).(2)求圆轮转动的角速度大小.答案见解析解析(1)由题意知，a物体做平抛运动，若与b点物体下落的时间相同，则b物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针方向.(2)a平抛：Rgt2b竖直下抛：2Rv0tgt2由得v0又因由解得.【考点】圆周运动与其他运动结合的问题【题点】圆周运动与其他运动结合的问题18
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