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立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行；若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D42. 将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是（ ）A B C D3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是、,这个长方体对角线的长为（ ）A2 B3 C6 D4. 如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）A90 B60C45 D05. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1个B2个C3个D无穷多个6. 正方体ABCDABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（ba，Q点在DC上滑动，则四面体AEFQ的体积（ ）A与E、F位置有关 B与Q位置有关C与E、F、Q位置都有关 D与E、F、Q位置均无关，是定值7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为123，PO=2，则P到这三个平面的距离分别是（ ）A1，2，3B2，4，6C1，4，6D3，6，9 8. 如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1， S2，则必有（ ）AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是（ ）Ab=（1）a Bb=（+1）a Cb= Db=11. 已知向量=(2，4，x)，=(2，y，2)，若|=6，则x+y的值是 ( )12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )A.12B. 18 C.36D. 613. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( )2020正视图20侧视图101020俯视图A B C D14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )A.1200 B.1500 C.1800 D.240015. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )16. 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥RPQMN的体积是( )A6 B10 C12 D不确定 17. 已知三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC1，OAx，OBy，若x+y=4，则已知三棱锥OABC体积的最大值是 ( )A.1 B. C. D.18. 如图，在正四面体ABCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( )A B C D 19. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( ) A. B. C. D.20. 已知直线AB、CD是异面直线，ACAB，ACCD，BDCD，且AB=2，CD=1，则异面直线AB与CD所成角的大小为 ( )A300 B450 C600 D75021. 已知向量，且与互相垂直，则值是 ( )A B C D22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )A.4个 B.2个 C.3个 D.1个23. 三棱锥A-BCD中，ACBD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形24. 在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A.BC/平面PDFB.DF平面PAE C.平面PDF平面ABCD.平面PAE平面ABC25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）A.1：3 B.1：2 C.1： D.1：26. 正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.27. 一个三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A.16 B.32 C.36 D.6428. 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上的点，PQ=,则三棱锥PBDQ的体积为（ ）A. B. C. D.不确定29. 若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P到平面ABC的距离为（ ）A. B. C. D.30. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A. B.2+ C.4+ D.31. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D.32. 正方体ABCDA1B1C1D1中，任作平面与对角线AC1垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则( )A.S为定值，l不为定值B.S不为定值，l为定值 C.S与l均为定值D.S与l均不为定值二、填空题33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_ABCDA1B1C1D1A134. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：（ ）3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）35. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为. 36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对37. 如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为 .38. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为_ ACBC1B1A1P39. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_40. 已知平面和平面交于直线，P是空间一点，PA，垂足为A，PB，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为 _ 41. 若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则三角形的面积S= ,根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V=_42. 四面体ABCD中，有如下命题：若ACBD，ABCD，则ADBC；若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影为ABD的外心；若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）三、解答题43. 在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.44. 如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，.（1）证明AC；（2）若，求与平面ABC所成角的余弦值.45. 如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱 上的一点，.（1）若直线与平面所成角的正切值为，求m；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.46. 正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点，求证：PB平面MNB1。47. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.（1）求证:MN面ADD1A1;（2）求三棱锥PDEN的体积.PEDCBA48. 在四棱锥P-ABCD中，PBC为正三角形，AB平面PBC，ABCD，AB=DC，.(1)求证：AE平面PBC；(2)求证：AE平面PDC.49. 设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于. (1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0.50. 如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点.(1)证明：PBMB1；(2)在线段A1D1上求一点Q,使得QD平面B1MN；(3)画出这个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离.51. 矩形ABCD中，AB=3，BC=4(如图)，沿对角线BD把ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求三棱锥A-BCD的体积52. 如图，三棱锥P-ABC中，ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA面ABC(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；53. 已知三点，(1)求与的夹角；(2)求在方向上的投影.54. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1；(2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2V155. 如图，在正三棱柱中，AB2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）该最短路线的长及的值；56. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F。QBCPAD57. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4 (1)证明PQ平面ABCD； (2)求异面直线AQ与PB所成的角； (3)求点P到平面QAD的距离参考答案12345678DDDBDDBC910111213141516BCADBCBA1718192021222324CCDCDABC2526272829303132DBACDCCB1. D利用特殊图形正方体我们不难发现、均不正确，故选择答案D.2. D由题意易知ABC1是AD与BC1所成的角，解ABC1，得余弦为.答案：D3. D设长宽高为a、b、c，则l=，答案：D4. B平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJFD，GHFD，MJGH，IJM为异面直线GH与JI所成的角.i.ii. 由已知条件易证MJI为正三角形.IJM=60.答案：B5. D 法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是6. DVAEFQ=VQAEF.7. B8. 9. C 连OA、OB、OC、OD则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDb) VAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C9. 11. B乙甲，但甲乙，例如四棱锥SABCDi. 的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.10. 12. C由平行锥体底面的截面性质，知=，=.= .b=a.答案：C11. A由题知或.12. D.先计算出三条棱的长度分别为.所以体对角线长为.所以外接球的直径为,算出表面积为6. 13. B. V=202020/3 .14. C.提示:设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有RL=2R2,解出L=2R.侧面展开图扇形的弧长为2R,半径为L=2R,所以扇形的圆心角大小为. 15. B. 16. A.提示:连接PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥的体积即可. 17. C.体积为 18. C.正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“”所示，在其它平面上的射影如“”所示.19. D.设底面直径为d,则侧面积为d2=S,所以d=. 20. C.设AB与CD所成的角为，则21. D.=，两向量垂直 .22. A. 23. B. ABCDA1B1C1D1第16题图A133. 不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.34. 如图，B、D、A1到平面的距离分别为 1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以填35. 将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论36. 解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对. 37. 60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积.38.39. 540.41.42. 43. 法一：连接， 为异面直线与所成的角. 连接，在中， 则 . 异面直线与所成角的大小为. 法二：以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则 ， 得 . 设与的夹角为， 则， 与的夹角大小为， 即异面直线与所成角的大小为. 44. （）AM = MB = MN，说明NM是ANB的中线且为边AB的一半，所以ANB是直角三角形，其中ANB为直角。所以BNNA。且MN面ABNBN。由、可推出BN面NAC。所以ACBN。（）MNAB且M为AB中点AN = MN 由（）知，AN、BN、CN两两垂直 由、 AC = BC，又ACB = ，所以ABC是等边三角形。设BN长度为1，则AB = ，三棱锥的体积为：；三棱锥的体积为：由可得 点N到面ABC的距离记NB与平面ABC所成角为，则。从而实际上，这个题的命题背景是是正方体的一个“角”。如图3.45. 法一：（）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面 相交于点，,连结OG，因为PC平面，平面平面APCOG,故OGPC，所以，OGPC.又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP与平面所成的角. 在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，当m时，直线AP与平面所成的角的正切值为.（）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。法二：()建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为 平面的一个法向量.设AP与平面所成的角为，则依题意有解得故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为（）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1QAP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求.46. （1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）. =（2，2，1）（0，1，2）=0，MB1PB，同理，知NB1PB.MB1NB1=B1，PB平面MNB1.47. 法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、D1(0,0,a) E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,E(),P(),M() ,N()(1) ,取,显然面ADD1A1而,.又MN面ADD1A1, MN面ADD1A1; (2)设为平面DEN的法向量, 又,P点到平面DEN的距离为d=,.所以.法二:()证明:取的中点,连结 分别为的中点 面,面 面面 面（2）.作,交于,由,得,.在中,.48. (1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EMCD，EM=DC,所以有EMAB且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AEBM,因为AE不在平面PBC内,所以AE平面PBC.(2) 因为AB平面PBC，ABCD,所以CD平面PBC，CDBM.由(1)得,BMPC,所以BM平面PDC，又AEBM,所以AE平面PDC.49. (1) (2)=22=2|2|cos120=2425()=13.(2)(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又与的夹角为，=|cos=.又=x1+y1，x1+y1=.另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=.(2)cos=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或，或cos=+=+=.0，=.50. (1)过点P向棱AA1作垂线PE,垂足为E.则PEDA，连接BE,又DA平面ABB1A1，PE平面ABB1A1,PEMB1.在正方形A1ABB1中,BEB1M,所以B1M平面PBE.所以B1MPB. (2)取线段A1D1的中点Q ,则点Q就是要求的点.下面证明QD平面B1MN.取线段AD的中点Q1,则A1Q1DQ，在四边形A1Q1NB1中, A1B1Q1N，且A1B1=Q1N，所以四边形A1Q1NB1是平行四边形.所以A1Q1B1M,所以QDB1M,而QD平面B1MN,所以QD平面B1MN.(3)由展开图知,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一. 注:只要画出上述6种之一即可.51. (1)证明：因为AE平面BCD，所以AECD，又BCCD，且AEBC=E，所以CD平面ABC，又CD平面ACD，所以平面ACD平面ABC(2)解：因为CD平面ABC，所以 VA-BCD=VD-ABC=，在ADC中，ACCD，AD=BC=4，AB=CD=3，所以AC=所以在ABC中，cosABC=，sinABC=，所以SABC=，又CD=3，所以VA-BCD=52. (1)以A为坐标原点，,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1).(0,0)，(1,),cos=.直线AB与直线PC所成的角余弦为.(2)取平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，设PC和面ABC所成的角为，则sin=|cos|=.PC和面ABC所成的角的正弦值为53. (1) ，,，；(2)在方向上的投影.54. (1)解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，Vl(42x)2x4(x3一4x24x) (0x2)4(3x2一8x4),当时，0，当时，0当时，Vl取最大值(2)解：重新设计方案如下：如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图焊成长方体容器新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V23216，显然V2Vl.故第二种方案符合要求 图 图55. 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形 其对角线长为 （II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为 ，, 故56. 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，解:（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影 AB1A1B，D1EAB1，于是D1E平面AB1FD1EAF连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影D1EAFDEAFABCD是正方形，E是BC的中点当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F 57. 解（）取AD的中点，连结PM，QM因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM 从而AD平面PQM又平面PQM，所以PQAD同理PQAB，所以PQ平面ABCD（）连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面因为OAOC，OPOQ，所以PAQC为平行四边形，AQPC从而BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角因为，所以从而异面直线AQ与PB所成的角是()连结OM，则所以PMQ90，即PMMQ由（）知ADPM，所以PM平面QAD 从而PM的长是点P到平面QAD的距离在直角PMO中，即点P到平面QAD的距离是
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